David von Becker

Berlin

Im Zentrum des "P versus NP"-Problems stehen effiziente Algorithmen, also die Frage, wie schnell Computer bestimmte Probleme lösen können. Zur Komplexitätsklasse P gehören all jene Probleme, die sich effizient lösen lassen. Ein Beispiel ist die Berechnung eines kürzesten Weges, die unser Smartphone in Sekundenbruchteilen erledigt. Die Klasse NP umfasst darüber hinaus alle Probleme, bei denen die Gültigkeit einer gegebenen Lösung effizient überprüft werden kann. Hierzu gehört etwa das Handlungsreisendenproblem, bei dem eine kürzeste Rundreise durch mehrere Orte gesucht wird, wofür bislang kein effizienter Algorithmus bekannt ist. Das "P versus NP"-Problem fragt nach der Existenz oder Nichtexistenz eines solchen Algorithmus, was gleichbedeutend mit der Frage ist, ob P=NP gilt oder nicht.

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MATH+: The Berlin Mathematics Research Center
E-Mail: p-np@mathplus.de

Die Junge Akademie (Berlin)

Zu verstehen, was die Welt im Innersten zusammenhält, bedeutet physikalisch ein mathematisches Modell für das Verhalten von Quanten zu haben. Eine Yang-Mills-Theorie wäre ein besonders grundlegender Teil einer solchen Erklärung für die physikalische Welt. In Frage kommt eine mathematische Theorie nur dann, wenn sie bestimmte für Quanten erwartete Eigenschaften erklärt - zum Beispiel, dass es eine kleinste Masse gibt, die nicht Null ist. Das nennt man die Massenlücke. Die Anforderungen, die eine solche Theorie erfüllen muss, sind formuliert. Was bisher noch niemand geschafft hat, ist, eine solche Yang-Mills-Theorie mathematisch aufzustellen und zu beweisen.

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Die Junge Akademie (Berlin)
Jägerstraße 22/23
10117 Berlin
E-Mail: borchert@diejungeakademie.de

(c) Jürgen Vogel

Bonn

Primzahlen sind die atomaren Bausteine der Zahlen, doch ihre Eigenschaften sind schwer zu verstehen - scheinbar zufällig tauchen sie in der Reihe der natürlichen Zahlen auf. Die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass sich ihre Verteilung jedoch zumindest statistisch erstaunlich exakt beschreiben lässt. Noch faszinierender ist allerdings die Tatsache, dass die Riemannsche Vermutung diese Aussage über Primzahlen in eine ganz andere Sprache übersetzt, nämlich in die Welt der Analysis. Die Mathematik, die in diesem Spannungsfeld entsteht, ist aus theoretischer und praktischer Sicht von fundamentaler Bedeutung.

In einer Schüler:innenveranstaltung und drei öffentlichen Vorträgen wird ein vielfältiges Panorama dieses Millennium-Problems vorgestellt. Die Vorträge am Mittwoch (29.06.2022) und Donnerstag (30.06.2022) wenden sich an ein breites Publikum; nur für den Vortrag am Freitag (01.07.2022) werden mathematische Kenntnisse vorausgesetzt.

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Universität Bonn
Hausdorff Center for Mathematics
Villa Maria
Stefan Hartmann
Endenicher Allee 62
53115 Bonn
E-Mail: stefan.hartmann@hcm.uni-bonn.de

Braunschweig / Hannover

Wie fließt Wasser über eine Stromschnelle? Wie weht der Wind um ein Hochhaus oder wie strömt die Luft um eine Karosserie? Kann man das berechnen? Gibt es dafür ein mathematisches Grundmodell, so wie die Newtonschen Gesetze für die Bewegung von festen Körpern? Ein Grundmodell der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie sind komplizierter als die Newtonschen Gesetze und für komplexe Anwendungen muss man sie annähern oder auf Experimente etwa im Windkanal zurückgreifen. Dennoch sind die Navier-Stokes-Gleichungen der Goldstandard, um das Strömen von viskosen Flüssigkeiten und Gasen zu beschreiben. Doch von welcher Güte ist dieses mathematische Modell? Wir wissen es (noch) nicht. Die Antwort wird jedoch nicht in einem Windkanal gefunden, sondern mit Papier und Bleistift.

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Technische Universität Braunschweig
Institut für Analysis und Algebra
Universitätsplatz 2
38106 Braunschweig
E-Mail: mp-orga@tu-braunschweig.de

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Appelstraße 11A
30167 Hannover

Dr. Denis Vogel

Heidelberg

Die Poincaré-Vermutung beschäftigt sich mit der Form und der Struktur dreidimensionaler Räume. Während die Form und Struktur zweidimensionaler Räume Anfang des 20. Jahrhunderts unter anderem von dem Mathematiker Henri Poincaré vollständig beschrieben wurde, blieb die Frage in drei Dimensionen für fast ein Jahrhundert ungelöst. Henri Poincaré hatte 1904 vermutet, dass jeder endliche dreidimensionale Raum ohne Rand, auf dessen Oberfläche sich jede Kurve kontinuierlich zu einem Punkt zusammenziehen lässt, die Form einer dreidimensionalen Sphäre haben muss. Gelöst wurde diese Vermutung im Jahre 2003 von G. Perelman, der nicht nur die Poincaré-Vermutung, sondern sogar die im Jahre 1980 formulierte Geometrisierungsvermutung von William Thurston bewies, die eine vollständige Beschreibung der Form und Struktur endlicher dreidimensionaler Räume gibt. Die Poincaré-Vermutung ist bislang das einzige gelöste Millenium-Problem.

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Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Im Neuenheimer Feld 205
69120 Heidelberg
E-Mail: mathfest@mathi.uni-heidelberg.de

München

Wie eng hängen Algebra und Geometrie zusammen? Lassen sich gewisse komplexe geometrische Gebilde immer durch einfache Gleichungen beschreiben? Die Hodge-Vermutung steht an der Schnittstelle von Algebra, Geometrie und Topologie. Falls sie bestätigt wird, wäre sie ein wichtiges Bindeglied zwischen diesen Gebieten. Unter anderem würde sie einige komplexe Fragen aus der algebraischen Geometrie in gewissem Sinne "linearisieren". Wie so oft bei den Millennium-Problemen, ist die Frage für spezielle Beispiele und in kleinen Dimensionen beantwortet, im allgemeinen Fall jedoch noch offen. Dieser allgemeine Fall ist ebenso weitreichend wie beziehungsreich. Der Weg zu dessen Lösung trägt seit Jahren dazu bei, wichtige neue Theorien zu bilden.

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München (TUM)

Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Barbara Kraus
Boltzmannstraße 3
85748 Garching bei München
E-Mail: barbara.kraus@tum.de

WWU – Jan Lehmann

Münster

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist eines der berühmtesten offenen Probleme der Zahlentheorie. Es geht um eine Klasse kubischer Gleichungen, die in der Mathematik und auch für Anwendungen in der Kryptografie sehr wichtig sind: die elliptischen Kurven. Nach einem Satz von Mordell kann man mithilfe von Symmetrien aus nur endlich vielen Fundamental-Lösungen alle anderen rationalen Lösungen erzeugen. Laut der BSD-​Vermutung ist die geheimnisvolle Anzahl der benötigten Fundamental-Lösungen gleichzeitig die Rate, mit der eine gewisse analytische Funktion - die L-Funktion der elliptischen Kurve - an einer bestimmten Stelle verschwindet. Falls die BSD-Vermutung richtig ist, würde sie also erlauben, mithilfe einer ganz anderen mathematischen Theorie, nämlich der Analysis des Unendlichen, das ursprüngliche zahlentheoretische Problem zu lösen.

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Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Exzellenzcluster Mathematik Münster
Einsteinstraße 62
48149 Münster
E-Mail: mathematics.muenster@uni-muenster.de

David von Becker

Berlin

Im Zentrum des "P versus NP"-Problems stehen effiziente Algorithmen, also die Frage, wie schnell Computer bestimmte Probleme lösen können. Zur Komplexitätsklasse P gehören all jene Probleme, die sich effizient lösen lassen. Ein Beispiel ist die Berechnung eines kürzesten Weges, die unser Smartphone in Sekundenbruchteilen erledigt. Die Klasse NP umfasst darüber hinaus alle Probleme, bei denen die Gültigkeit einer gegebenen Lösung effizient überprüft werden kann. Hierzu gehört etwa das Handlungsreisendenproblem, bei dem eine kürzeste Rundreise durch mehrere Orte gesucht wird, wofür bislang kein effizienter Algorithmus bekannt ist. Das "P versus NP"-Problem fragt nach der Existenz oder Nichtexistenz eines solchen Algorithmus, was gleichbedeutend mit der Frage ist, ob P=NP gilt oder nicht.

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(c) Jürgen Vogel

Bonn

Primzahlen sind die atomaren Bausteine der Zahlen, doch ihre Eigenschaften sind schwer zu verstehen - scheinbar zufällig tauchen sie in der Reihe der natürlichen Zahlen auf. Die Riemannsche Vermutung sagt aus, dass sich ihre Verteilung jedoch zumindest statistisch erstaunlich exakt beschreiben lässt. Noch faszinierender ist allerdings die Tatsache, dass die Riemannsche Vermutung diese Aussage über Primzahlen in eine ganz andere Sprache übersetzt, nämlich in die Welt der Analysis. Die Mathematik, die in diesem Spannungsfeld entsteht, ist aus theoretischer und praktischer Sicht von fundamentaler Bedeutung.

In einer Schüler:innenveranstaltung und drei öffentlichen Vorträgen wird ein vielfältiges Panorama dieses Millennium-Problems vorgestellt. Die Vorträge am Mittwoch (29.06.2022) und Donnerstag (30.06.2022) wenden sich an ein breites Publikum; nur für den Vortrag am Freitag (01.07.2022) werden mathematische Kenntnisse vorausgesetzt.

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Stefan Hartmann
Endenicher Allee 62
53115 Bonn
E-Mail: stefan.hartmann@hcm.uni-bonn.de

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Zu verstehen, was die Welt im Innersten zusammenhält, bedeutet physikalisch ein mathematisches Modell für das Verhalten von Quanten zu haben. Eine Yang-Mills-Theorie wäre ein besonders grundlegender Teil einer solchen Erklärung für die physikalische Welt. In Frage kommt eine mathematische Theorie nur dann, wenn sie bestimmte für Quanten erwartete Eigenschaften erklärt - zum Beispiel, dass es eine kleinste Masse gibt, die nicht Null ist. Das nennt man die Massenlücke. Die Anforderungen, die eine solche Theorie erfüllen muss, sind formuliert. Was bisher noch niemand geschafft hat, ist, eine solche Yang-Mills-Theorie mathematisch aufzustellen und zu beweisen.

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Dr. Denis Vogel

Heidelberg

Die Poincaré-Vermutung beschäftigt sich mit der Form und der Struktur dreidimensionaler Räume. Während die Form und Struktur zweidimensionaler Räume Anfang des 20. Jahrhunderts unter anderem von dem Mathematiker Henri Poincaré vollständig beschrieben wurde, blieb die Frage in drei Dimensionen für fast ein Jahrhundert ungelöst. Henri Poincaré hatte 1904 vermutet, dass jeder endliche dreidimensionale Raum ohne Rand, auf dessen Oberfläche sich jede Kurve kontinuierlich zu einem Punkt zusammenziehen lässt, die Form einer dreidimensionalen Sphäre haben muss. Gelöst wurde diese Vermutung im Jahre 2003 von G. Perelman, der nicht nur die Poincaré-Vermutung, sondern sogar die im Jahre 1980 formulierte Geometrisierungsvermutung von William Thurston bewies, die eine vollständige Beschreibung der Form und Struktur endlicher dreidimensionaler Räume gibt. Die Poincaré-Vermutung ist bislang das einzige gelöste Millenium-Problem.

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Wie fließt Wasser über eine Stromschnelle? Wie weht der Wind um ein Hochhaus oder wie strömt die Luft um eine Karosserie? Kann man das berechnen? Gibt es dafür ein mathematisches Grundmodell, so wie die Newtonschen Gesetze für die Bewegung von festen Körpern? Ein Grundmodell der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie sind komplizierter als die Newtonschen Gesetze und für komplexe Anwendungen muss man sie annähern oder auf Experimente etwa im Windkanal zurückgreifen. Dennoch sind die Navier-Stokes-Gleichungen der Goldstandard, um das Strömen von viskosen Flüssigkeiten und Gasen zu beschreiben. Doch von welcher Güte ist dieses mathematische Modell? Wir wissen es (noch) nicht. Die Antwort wird jedoch nicht in einem Windkanal gefunden, sondern mit Papier und Bleistift.

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Wie eng hängen Algebra und Geometrie zusammen? Lassen sich gewisse komplexe geometrische Gebilde immer durch einfache Gleichungen beschreiben? Die Hodge-Vermutung steht an der Schnittstelle von Algebra, Geometrie und Topologie. Falls sie bestätigt wird, wäre sie ein wichtiges Bindeglied zwischen diesen Gebieten. Unter anderem würde sie einige komplexe Fragen aus der algebraischen Geometrie in gewissem Sinne "linearisieren". Wie so oft bei den Millennium-Problemen, ist die Frage für spezielle Beispiele und in kleinen Dimensionen beantwortet, im allgemeinen Fall jedoch noch offen. Dieser allgemeine Fall ist ebenso weitreichend wie beziehungsreich. Der Weg zu dessen Lösung trägt seit Jahren dazu bei, wichtige neue Theorien zu bilden.

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Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist eines der berühmtesten offenen Probleme der Zahlentheorie. Es geht um eine Klasse kubischer Gleichungen, die in der Mathematik und auch für Anwendungen in der Kryptografie sehr wichtig sind: die elliptischen Kurven. Nach einem Satz von Mordell kann man mithilfe von Symmetrien aus nur endlich vielen Fundamental-Lösungen alle anderen rationalen Lösungen erzeugen. Laut der BSD-​Vermutung ist die geheimnisvolle Anzahl der benötigten Fundamental-Lösungen gleichzeitig die Rate, mit der eine gewisse analytische Funktion - die L-Funktion der elliptischen Kurve - an einer bestimmten Stelle verschwindet. Falls die BSD-Vermutung richtig ist, würde sie also erlauben, mithilfe einer ganz anderen mathematischen Theorie, nämlich der Analysis des Unendlichen, das ursprüngliche zahlentheoretische Problem zu lösen.

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